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Stratégie No-Limit (NL)

Équilibres de Nash et fréquences de bluff/call

Introduction

La théorie des jeux est un domaine des mathématiques qui porte sur l'analyse de certaines situations conflictuelles. Dans ce contexte, on entend par jeu une situation dans laquelle différents acteurs se disputent une ressource, chacun suivant sa propre stratégie (stratégie qui peut tout à fait conduire à des décisions relevant de la coopération), et dans laquelle on peut calculer le profit généré pour chacun des participants.

Un concept central de cette théorie des jeux est l'équilibre de Nash, qui décrit un état dans lequel un équilibre stratégique est atteint entre les différents joueurs. Ceux-ci ont à leur disposition la meilleure riposte à chaque action adverse, et personne ne peut augmenter son profit en s'écartant de cette stratégie.

Cet article constitue une introduction à la théorie des jeux, aux équilibres de nash en tant que solution stratégique ainsi qu'à leur utilisation concrète dans le cas de la fréquence de bet/call. La bonne compréhension de cet article requiert quelques connaissances de base concernant les calculs matriciels.

Brève introduction à la théorie des jeux

Du point de vue mathématique, un jeu est défini par :

  • le nombre de joueurs

  • le nombre de stratégies (pures) à la disposition de chaque joueur

  • une application qui associe à chaque profil stratégique un vecteur à n (n = le nombre de joueurs) éléments, chaque éléments correspondant au résultat obtenu par chacun des joueurs. Cette application permet donc d'obtenir le résultat obtenu à la fin du jeu lorsque chaque joueur opte pour une certaine stratégie.


Dans la suite de cet article nous allons nous intéresser uniquement à des jeux à 2 joueurs. Le jeu peut alors être simplement représenté par deux matrices m x n A et B. Le joueur 1 a à sa disposition m stratégies S1,..., Sm et le joueur 2 n stratégies S'1,...,S'n. Si le joueur 1 opte pour la stratégie Si et le joueur 2 pour la stratégie Sj, alors le gain est Aij pour le joueur 1 et Bij pour le joueur 2.

Résultats pour le joueur 1 :



S'1

S'2

...

S'n

S1

A11

A12

...

A1n

S2

A21

A22

...

A2n

...

...

...

...

...

Sm

Am1

Am2

...

Amn

 

 

Imagions que l'on a A=B=I2 (matrice identité 2x2) :



S'1

S'2

S1

1

0

S2

0

1

 

Ici chacun des deux joueurs gagne 1 si tous les deux choisissent la première ou la deuxième de leurs stratégies, sinon ils gagnent 0.

Les joueurs ont bien entendu tout à fait le droit de jouer des stratégies combinées. Cela signifie que chacune des stratégies pures peut être jouée selon une certaine probabilité, la somme de ces probabilités étant bien entendu de 100%. On peut représenter une stratégie combinée à l'aide d'un vecteur p, où pi représente la probabilité selon laquelle le joueur choisit la i-ème stratégie.

Si le joueur 1 joue suivant la stratégie combinée p et si le joueur 2 suivant la stratégie combinée q, alors on obtient les matrices résultats pAq et pBq (on retrouve donc les résultats correspondant aux différentes stratégies pures dans les entrées de la matrice résultat obtenue).

Une stratégie p du joueur 1 sera considérée comme étant la meilleure réponse à une stratégie q du joueur 2, si p garantit le meilleur résultat possible au joueur 1, c'est à dire si :

pAq >= p'Aq pour toutes les stratégies p' du joueur 1.

De façon analogue on dira qu'une stratégie q du joueur 2 sera la meilleure réponse à une stratégie p du joueur 1, si q garantit le meilleur résultat possible au joueur 2, c'est à dire si :

pBq >= pAq' pour toutes les stratégies q' du joueur 2.


Un couple (p,q) avec p la stratégie du joueur 1 et q la stratégie du joueur 2 sera appelé Équilibre de Nash (noté EQN dans la suite) si p est la meilleure réponse à q et q la meilleure réponse à p. Nous admettrons que pour tout jeu existe au moins un EQN (inutile dans le cas d'une seule stratégie pure).



Un EQN ne correspond pas forcément à un optimum de pareto. Un optimum de pareto correspond à un état dans lequel il n'est pas possible d'améliorer le résultat d'un joueur, sans que ceci se fasse au détriment d'un autre joueur.


De la même façon, un couple de stratégie correspondant à un optimum de pareto ne correspond pas forcément à un EQN. Un exemple bien connu est celui du dilemme des prisonniers. Nous n'allons pas cependant nous intéresser plus longtemps à ce sujet, ni à d'autres concepts intéressants portant également sur les équilibres telles que Les stratégies évolutives stationnaires ou encore les équilibres corrélés.

Si les deux joueurs suivent tous les deux une stratégie pure, alors il existe un moyen très simple de calculer l'EQN correspondant. Nous allons illustrer ceci à l'aide de l'exemple A=B=I2 de l'exemple précédent.

Une stratégie p du joueur 1 se présente sous la forme (a, 1-a) avec a appartenant à l'intervalle [0,1]. Une stratégie q du joueur 2 sous la forme (b, 1-b) avec b appartenant à [0,1]. On cherche donc maintenant la meilleure réponse du joueur 1 face à une stratégie (b,1-b) du joueur 2, en comparant les résultats des stratégies (1,0) et (0,1) (à savoir les résultats obtenus pour chacune des stratégies pures, soit pour chacune des lignes de la matrice).

Si le joueur 1 choisit la première ligne, alors le résultat est b, s'il choisit la deuxième ligne le résultat est (1-b). Pour b > 1-b <=> b>0.5, c'est la première ligne qui correspond à la meilleure réponse, à savoir a=1. Pour b<0.5 c'est la deuxième ligne qui représente la meilleure réponse, soit a=0. Pour b=0.5 alors il obtient dans tous les cas 0.5, et donc chacune des deux stratégies correspond à la meilleure réponse.

On effectue le même raisonnement pour le joueur 2. Du fait de la symétrie de l'exemple on obtient b=1 pour a>0,5, b=0 pour a<0,5 et b appartenant à [0,1] pour a=0,5.

D'après la définition l'EQN correspond ici à un couple stratégies, chacune des stratégie étant la meilleure réponse à l'autre stratégie. Celles-ci seront obtenues comme étant l'intersection des courbes représentant les deux grandeurs.

Les EQN de ce jeu sont donc ((1,0),(1,0)), ((0,1),(0,1)) et ((0.5,0.5),(0.5,0.5)).

 

Ce n'est qu'une partie de l'article...

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Commentaires (1)

#1 grgbpm, 11/03/13 16h33

pointu!