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Théorème de Morton

Définition

Selon le théorème qui tire son nom de Andy Morton, l'espérance de gain d'un joueur dans un pot multiway peut augmenter lorsqu'un adversaire prend une décision correcte. D'après le théorème fondamental du poker de David Sklansky, c'est justement l'inverse qui devrait se produire, étant donné que l'espérance de gain d'un joueur augmente grâce aux erreurs de son adversaire.

Explication

Si un joueur possède à un moment donné la meilleure main contre plusieurs adversaires, qui ont pour leur part des tirages, il peut se produire que son espérance de gain soit plus élevée si l'un de ses adversaires couche sa main (avec raison) au lieu de commettre l'erreur de continuer à jouer en payant par exemple une mise trop élevée. Les probabilités de réalisation des différents tirages interfèrent entre elles.

Exemple (Fixed-Limit Texas Hold'em):

Joueur A Joueur B Joueur C Cartes communes

Voici les probabilités de victoire pour les différents joueurs au turn :

Joueur A Joueur B Joueur C
69.05% 21.43% 9.52%

Imaginons que les joueurs connaissent les cartes de leurs adversaires et prennent à chaque fois la meilleure décision.

Le pot s'élève au turn à x Big Bets. Jouer A mise, joueur B suit.

La décision de joueur C dépend de la taille du pot p.

EV(fold) = 0 BB
EV(call) = 9.52% * p + 90.48%*(-1 BB)
EV(fold) = EV(call)

0 BB= 9.52% * p - 0,91 BB
p = 0,91 BB / 9.52%
p = 9,56 BB

Le joueur C pourrait donc payer profitablement à partir d'un pot de 9.6 BB. Le pot de départ x est donc x = p -2 = 7.6 BB, étant donné qu'il faut retirer les 2 mises effectuées au turn.

Reste à examiner quelle est l'action du joueur C qui convient le mieux au joueur A. Si le joueur C se couche, le joueur A gagne dans 79,55% des cas, sinon il gagne dans 69,05% des cas. La question est de savoir pour quelle taille du pot un fold du joueur C est préférable à un call du point de vue du joueur A.

EV(C folds) = 79,55% * (x + 1 BB) + 20,45% * (-1 BB)
EV(C calls) = 69,05% * (x + 2 BB) + 30.95%*(-1 BB)
EV(C folds) = EV(C calls)

79,55% * (x + 1 BB) + 20,45% * (-1 BB) = 69,05% * (x + 2 BB) + 30.95%*(-1 BB)
(79.55% - 69,05%) * x = 0,48 BB
x = 0,48 BB / 10,5%
x = 4,58 BB

Lorsque le pot est compris entre 4.6 BB et 7.66 BB, il est plus profitable pour le joueur A que le joueur C couche sa main en jouant correctement. Ce dernier ne peut payer de façon profitable qu'à partir d'un pot de départ de 7.6 BB. Pour un pot inférieur à 4.6 BB, il serait encore plus profitable pour le joueur A que le joueur C reste dans le pot. Le domaine compris entre 4.6 BB et 7.6 BB correspond à une situation dans laquelle le  joueur A maximise son espérance de gain lorsque le joueur C maximise également la sienne.



Thèmes associés :

Fundamental Theorem of Poker, Expected Value